Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas e integrais de vetores. Pra resolver, vamos precisar lembrar como derivar e integrar funções vetoriais, o que basicamente significa tratar cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada de um vetor. Se temos um vetor função
, sua derivada
é a taxa de variação desse vetor em relação a
. No nosso caso, a derivada
é dada por:
Isso significa que queremos encontrar
tal que, ao derivá-la, obtenhamos essa função.
Passo 3
Para achar
, vamos integrar cada componente da derivada. A integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Então, vamos integrar
em relação a
na direção
e integrar
na direção
.
Passo 4
Integrando a componente
:
E integrando a componente
:
Aqui,
e
são constantes de integração que representam qualquer vetor constante, já que a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Juntando as integrais das duas componentes, temos o vetor mais geral que satisfaz a condição do exercício:
Onde
e
são constantes reais.
Resposta
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Ache
e
.