Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
(t^2 - 9) * i + (2t - 5) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas e integrais de vetores. Pra resolver, vamos precisar lembrar como derivar e integrar funções vetoriais, o que basicamente significa tratar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada de um vetor. Se temos um vetor função , sua derivada é a taxa de variação desse vetor em relação a . No nosso caso, a derivada é dada por:
Isso significa que queremos encontrar tal que, ao derivá-la, obtenhamos essa função.

Passo 3

Para achar , vamos integrar cada componente da derivada. A integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Então, vamos integrar em relação a na direção e integrar na direção .

Passo 4

Integrando a componente :
E integrando a componente :
Aqui, e são constantes de integração que representam qualquer vetor constante, já que a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Juntando as integrais das duas componentes, temos o vetor mais geral que satisfaz a condição do exercício:
Onde e são constantes reais.

Resposta

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r^2 cos(2 theta) = z^3
Ache o comprimento do arco dado.
R(t) = e^(t) cos(t) i + e^(t) sen(t) j, 0 <= t <= 1
Ache T(t) e N(t).
R(t) = raiz(1 + t^2) * i + t * j