Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura e o raio de curvatura do vetor posição dado por
no ponto onde
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados à derivação de funções vetoriais e cálculo de curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas de
em relação a
. Isso nos ajudará a calcular a curvatura.
A derivada primeira
é:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada segunda
:
Passo 4
A fórmula para a curvatura
de uma curva parametrizada por
é:
Onde
representa o produto vetorial e
denota a norma do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial
:
Primeiro, escrevemos
e
:
Como estamos trabalhando no plano
, a componente
é zero.
Calculando o produto vetorial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
Passo 7
Em seguida, calculamos a norma de
:
Passo 8
Vamos elevar essa norma ao cubo:
Passo 9
Agora, substituímos
nas expressões que encontramos:
Primeiro,
:
Então,
Passo 10
Agora, calculamos a curvatura
em
:
Passo 11
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Resposta
No ponto onde
, a curvatura é
e o raio de curvatura é
.
Exercícios relacionados
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Ache o comprimento do arco dado.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
c)
c)
Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a)
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