Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura e o raio de curvatura do vetor posição dado por no ponto onde . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados à derivação de funções vetoriais e cálculo de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas de em relação a . Isso nos ajudará a calcular a curvatura.
A derivada primeira é:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada segunda :

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada por é:
Onde representa o produto vetorial e denota a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Primeiro, escrevemos e :
Como estamos trabalhando no plano , a componente é zero.
Calculando o produto vetorial:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:

Passo 7

Em seguida, calculamos a norma de :

Passo 8

Vamos elevar essa norma ao cubo:

Passo 9

Agora, substituímos nas expressões que encontramos:
Primeiro, :
Então,

Passo 10

Agora, calculamos a curvatura em :

Passo 11

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

No ponto onde , a curvatura é e o raio de curvatura é .

Exercícios relacionados