Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura e o raio de curvatura do vetor posição dado por no ponto onde . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados à derivação de funções vetoriais e cálculo de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas primeiras e segundas de em relação a . Isso nos ajudará a calcular a curvatura.
A derivada primeira é:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada segunda :

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada por é:
Onde representa o produto vetorial e denota a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Primeiro, escrevemos e :
Como estamos trabalhando no plano , a componente é zero.
Calculando o produto vetorial:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:

Passo 7

Em seguida, calculamos a norma de :

Passo 8

Vamos elevar essa norma ao cubo:

Passo 9

Agora, substituímos nas expressões que encontramos:
Primeiro, :
Então,

Passo 10

Agora, calculamos a curvatura em :

Passo 11

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

No ponto onde , a curvatura é e o raio de curvatura é .

Exercícios relacionados

Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = a cos(t), y = a sen(t)
Ache o comprimento do arco dado.
r = sen²(theta/2), 0 <= theta <= pi/2
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a) R(t) = (t+1) i - t^2 j + (1-2t) k, t=-1