Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
de 0 até
. Vamos precisar usar cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva paramétrica. Se temos
, o comprimento do arco
de
até
é dado por:
Isso significa que precisamos derivar
e
em relação a
, elevar ao quadrado, somar e tirar a raiz quadrada, e então integrar esse resultado de
até
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
e
:
Passo 6
Somando essas duas expressões:
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco e integramos de
até
:
A integral de
é
, então:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O comprimento do arco da curva é 120 unidades.
Exercícios relacionados
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Ache
e
Ache
e
.