Ache o comprimento do arco dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de de 0 até . Vamos precisar usar cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva paramétrica. Se temos , o comprimento do arco de até é dado por:
Isso significa que precisamos derivar e em relação a , elevar ao quadrado, somar e tirar a raiz quadrada, e então integrar esse resultado de até .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular e :

Passo 6

Somando essas duas expressões:
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco e integramos de até :
A integral de é , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O comprimento do arco da curva é 120 unidades.

Exercícios relacionados

Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Ache e
Ache e .