Ache e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a função posição dada:
Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas de vetores posição e normalização para obter vetores unitários. Vamos precisar calcular derivadas e magnitudes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá a velocidade :
Calculando as derivadas:
e
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Ele é obtido normalizando o vetor velocidade :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Simplificando isso, acabamos com:
Então,

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar o vetor normal unitário . Primeiro, precisamos derivar em relação a :
Calculando as derivadas:
Para a componente :
E para a componente , a derivada é zero porque é uma constante.
Então,

Passo 5

Agora, vamos normalizar para obter :
Calculando a magnitude de :
Então,

Resposta

Os vetores são:
e

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Ache o comprimento do arco dado.
Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .
Ache e .
Ache uma equação da reta tangente à curva: