Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta para a gente encontrar a derivada de , que é o ângulo entre os vetores e . Aqui, estamos lidando com Vetores e Cálculo, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o ângulo entre dois vetores e depois diferenciar essa relação em relação ao tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores e pode ser calculado pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Dado que:
Como os vetores estão em direções perpendiculares ( e ), o produto escalar será zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
Quando , isso significa que radianos, ou seja, os vetores são perpendiculares.

Passo 6

Para encontrar , vamos diferenciar em relação a . Como é uma constante:

Resposta

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
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Ache o comprimento do arco dado.
Ache e