Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como separar as variáveis. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. A equação dada é:
Lembrando que
é a derivada de
em relação a
, podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar os termos:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para poder integrar cada lado da equação. Vamos reorganizar os termos:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos calcular as integrais de cada lado. Primeiro, o lado esquerdo com respeito a
:
Agora, o lado direito com respeito a
:
Passo 5
Igualando as integrais e combinando as constantes (
):
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, a equação geral fica:
Para encontrar
em função de
, vamos resolver essa equação quadrática em
.
Passo 8
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 9
Agora, vamos usar a condição inicial para determinar qual sinal escolher (
ou
). Sabemos que quando
,
:
Para que
, precisamos do sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache o comprimento do arco dado.