Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e como separar as variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis e . A equação dada é:
Lembrando que é a derivada de em relação a , podemos multiplicar ambos os lados por para isolar os termos:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e para poder integrar cada lado da equação. Vamos reorganizar os termos:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos calcular as integrais de cada lado. Primeiro, o lado esquerdo com respeito a :
Agora, o lado direito com respeito a :

Passo 5

Igualando as integrais e combinando as constantes ( ):
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 6

Substituindo e na equação:

Passo 7

Agora que temos o valor de , a equação geral fica:
Para encontrar em função de , vamos resolver essa equação quadrática em .

Passo 8

Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 9

Agora, vamos usar a condição inicial para determinar qual sinal escolher ( ou ). Sabemos que quando , :
Para que , precisamos do sinal negativo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .
Ache o comprimento do arco dado.