Ache o comprimento de arco da parábola
do ponto
ao ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da parábola
entre os pontos onde
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que faz parte do cálculo integral. Vamos precisar calcular a derivada da função, montar a integral e então avaliar esse integral entre os limites dados.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada de
em relação a
. Isso nos dará a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado da derivada
:
Passo 4
A fórmula para o comprimento do arco
entre
e
é:
Substituindo
:
Passo 5
Esse integral pode ser complicado de resolver de forma analítica, ou seja, com uma fórmula exata. Normalmente, nesse caso, usamos métodos numéricos ou uma calculadora científica para aproximar o valor do comprimento do arco. Usando uma calculadora ou software de cálculo, encontramos que:
Resposta
O comprimento do arco da parábola entre
e
é aproximadamente 2,754 unidades.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
g)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е) ;
е)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) ;
h)
Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.