Ache o comprimento de arco da parábola do ponto ao ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da parábola entre os pontos onde e . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que faz parte do cálculo integral. Vamos precisar calcular a derivada da função, montar a integral e então avaliar esse integral entre os limites dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de em relação a . Isso nos dará a inclinação da curva em qualquer ponto .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado da derivada :

Passo 4

A fórmula para o comprimento do arco entre e é:
Substituindo :

Passo 5

Esse integral pode ser complicado de resolver de forma analítica, ou seja, com uma fórmula exata. Normalmente, nesse caso, usamos métodos numéricos ou uma calculadora científica para aproximar o valor do comprimento do arco. Usando uma calculadora ou software de cálculo, encontramos que:

Resposta

O comprimento do arco da parábola entre e é aproximadamente 2,754 unidades.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е) ;
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) ;
Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.