Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender um pouco sobre o Teste da Comparação e o comportamento dos termos da série quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Esse termo pode ser reescrito como . Observe que, conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador . Isso sugere que os termos da série estão diminuindo rapidamente, o que é um indicativo de que a série pode convergir.

Passo 3

Para confirmar isso, vamos aplicar o Teste da Comparação. Precisamos encontrar uma série conhecida que seja maior ou menor que a nossa série e que seja convergente ou divergente.
Consideremos a série . Sabemos que cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que qualquer função polinomial como . Portanto, os termos da nossa série são menores que os termos de uma série que tem denominadores com crescimento exponencial.

Passo 4

Vamos comparar com a série , que é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , então a série geométrica converge.

Passo 5

Como para todo , e sabemos que converge (pois é limitada por uma série geométrica convergente), então, pelo Teste da Comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
c)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
Ache o comprimento de arco da parábola do ponto ao ponto onde .