Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
е)
;
е)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender um pouco sobre o Teste da Comparação e o comportamento dos termos da série quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Esse termo pode ser reescrito como
. Observe que, conforme
aumenta, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador
. Isso sugere que os termos da série estão diminuindo rapidamente, o que é um indicativo de que a série pode convergir.
Passo 3
Para confirmar isso, vamos aplicar o Teste da Comparação. Precisamos encontrar uma série conhecida que seja maior ou menor que a nossa série e que seja convergente ou divergente.
Consideremos a série
. Sabemos que
cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que qualquer função polinomial como
. Portanto, os termos da nossa série são menores que os termos de uma série que tem denominadores com crescimento exponencial.
Passo 4
Vamos comparar com a série
, que é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, então a série geométrica converge.
Passo 5
Como
para todo
, e sabemos que
converge (pois é limitada por uma série geométrica convergente), então, pelo Teste da Comparação, a nossa série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
c)
c)
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
g)
Ache o comprimento de arco da parábola
do ponto
ao ponto onde
.