Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h)
;
h)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, focando em simplificar a expressão para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, a gente pode usar frações parciais, que ajuda a quebrar a fração em partes mais fáceis de lidar.
Vamos reescrever
da seguinte forma:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Juntando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a fração se decompõe em:
Passo 3
Agora que simplificamos a expressão, a série original fica:
Podemos reescrever os índices para facilitar:
Então, a série original se torna:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente. Notamos que:
E:
Subtraindo as duas séries:
Simplificando:
Essa última soma é basicamente a série harmônica a partir de
.
Passo 5
Sabemos que a série harmônica
diverge, ou seja, não tem uma soma finita. Mesmo começando em
, ela ainda diverge, porque a divergência da série harmônica é independente do ponto de início.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Ache o comprimento de arco da parábola
do ponto
ao ponto onde
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
g)
Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
i) ;
i)