Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) sumn=5^infty n+1n(n-1);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, focando em simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão n+1n(n-1) = An-1 + Bn . Para isso, a gente pode usar frações parciais, que ajuda a quebrar a fração em partes mais fáceis de lidar.
Vamos reescrever n+1 = A cdot n + B cdot (n-1) da seguinte forma:
n + 1 = A n + B n - B
Multiplicando ambos os lados por n + 1 = (A + B) n - B para eliminar os denominadores:
A + B = 1 (coeficiente de n)
Expandindo:
-B = 1 (termo constante)
Juntando os termos:
B = -1
Agora, igualamos os coeficientes:
A + (-1) = 1 implies A = 2
n+1n(n-1) = 2n-1 - 1n
Resolvendo:
Então, a fração se decompõe em:

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, a série original fica:
sumn=5^infty ( 2n-1 - 1n )
Podemos reescrever os índices para facilitar:
sumn=5^infty 2n-1 = 2 sumn=5^infty 1n-1 = 2 summ=4^infty 1m
Então, a série original se torna:
2 summ=4^infty 1m - sumn=5^infty 1n

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Notamos que:
2 summ=4^infty 1m = 2 ( 14 + 15 + 16 + cdots )
E:
sumn=5^infty 1n = 15 + 16 + 17 + cdots
Subtraindo as duas séries:
2 summ=4^infty 1m - sumn=5^infty 1n = 2 cdot 14 + 2 summ=5^infty 1m - sumn=5^infty 1n
Simplificando:
12 + summ=5^infty 1m
Essa última soma é basicamente a série harmônica a partir de .

Passo 5

Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não tem uma soma finita. Mesmo começando em , ela ainda diverge, porque a divergência da série harmônica é independente do ponto de início.

Resposta

A série diverge.

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