Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
h) ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, focando em simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para isso, a gente pode usar frações parciais, que ajuda a quebrar a fração em partes mais fáceis de lidar.
Vamos reescrever da seguinte forma:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Juntando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a fração se decompõe em:

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, a série original fica:
Podemos reescrever os índices para facilitar:
Então, a série original se torna:

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Notamos que:
E:
Subtraindo as duas séries:
Simplificando:
Essa última soma é basicamente a série harmônica a partir de .

Passo 5

Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não tem uma soma finita. Mesmo começando em , ela ainda diverge, porque a divergência da série harmônica é independente do ponto de início.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Ache o comprimento de arco da parábola do ponto ao ponto onde .
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
i) ;