Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
y = |x| ; y = x^2 - 1, x = -1, x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar as curvas das funções e , além de encontrar a área entre elas no intervalo de a . Aqui, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os gráficos dessas funções. A função é o valor absoluto de , que forma um “V” apontando para cima, interceptando a origem. Já é uma parábola que abre para cima e está deslocada uma unidade para baixo.

Passo 3

Vamos esboçar as curvas:
  • Para :
    • Quando ,
    • Quando ,
  • Para :
    • Vértice no ponto
    • Simétrica em relação ao eixo
No intervalo de a , as duas curvas se cruzam em e .

Passo 4

Agora, para encontrar a área entre as curvas, vamos subtrair a função inferior da função superior nesse intervalo. Precisamos identificar qual função está acima da outra entre e .
  • Para entre e :
    • está acima de

Passo 5

Vamos configurar a integral para calcular a área :
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Devido à simetria das funções em relação ao eixo , podemos calcular a área de a e depois multiplicar por :

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de a :

Passo 8

Multiplicando pelo para considerar ambos os lados do eixo :

Resposta

A área entre as curvas é unidades quadradas.

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