Esboce as curvas e ache a área entre as curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar as curvas das funções
e
, além de encontrar a área entre elas no intervalo de
a
. Aqui, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são os gráficos dessas funções. A função
é o valor absoluto de
, que forma um “V” apontando para cima, interceptando a origem. Já
é uma parábola que abre para cima e está deslocada uma unidade para baixo.
Passo 3
Vamos esboçar as curvas:
-
Para
: - Quando
, - Quando
,
- Quando
-
Para
: - Vértice no ponto
- Simétrica em relação ao eixo
- Vértice no ponto
No intervalo de
a
, as duas curvas se cruzam em
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar a área entre as curvas, vamos subtrair a função inferior da função superior nesse intervalo. Precisamos identificar qual função está acima da outra entre
e
.
- Para
entre e : -
está acima de
-
Passo 5
Vamos configurar a integral para calcular a área
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Devido à simetria das funções em relação ao eixo
, podemos calcular a área de
a
e depois multiplicar por
:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Multiplicando pelo
para considerar ambos os lados do eixo
:
Resposta
A área entre as curvas é
unidades quadradas.