Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
g) ;
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa em séries infinitas para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (12n)^n
Precisamos calcular an+1 = (12(n+1))^n+1 :
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (12(n+1))^n+1(12n)^n
Vamos simplificar essa expressão:
L = limn to infty (12(n+1))^n+1 times (2n)^n = limn to infty (2n2(n+1))^n times 12(n+1)
Simplificando mais:
L = limn to infty (nn+1)^n times 12(n+1) = limn to infty (11+1n)^n times 12(n+1)
Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Portanto,
limn to infty (11+1n)^n = 1e
Então,
L = 1e times limn to infty 12(n+1) = 1e times 0 = 0