Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado. y = 1 + 6 * raiz(x^3), [0, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Isso envolve um conteúdo de Cálculo, especificamente o cálculo do comprimento de uma curva usando integrais. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e saber derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função dada é . Reescrevendo a raiz como potência, temos:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
Substituindo que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de 1 a 82:
Calculando :

Resposta

Portanto, o comprimento da curva no intervalo de 0 a 1 é aproximadamente:
Então, o comprimento da curva é aproximadamente 6,11 unidades.

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