Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Isso envolve um conteúdo de Cálculo, especificamente o cálculo do comprimento de uma curva usando integrais. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e saber derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
. Reescrevendo a raiz como potência, temos:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
Substituindo
que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites de 1 a 82:
Calculando
:
Resposta
Portanto, o comprimento da curva no intervalo de 0 a 1 é aproximadamente:
Então, o comprimento da curva é aproximadamente 6,11 unidades.