Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas, escolher se vamos integrar em relação a ou , e calcular a área dessa região. As curvas que temos são:
Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, pontos de interseção e integração para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função é uma reta, e é uma parábola que abre para baixo. As retas verticais e vão limitar a nossa região de interesse no eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as funções e :
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções ocorrem nos valores de e . Mas como estamos limitando entre e , vamos nos concentrar nesse intervalo.

Passo 4

Vamos decidir integrar em relação a . Isso porque as funções estão facilmente expressas em termos de para qualquer valor de , e os limites são dados em . A área entre duas curvas entre e é dada por:
Á
Onde está acima de no intervalo considerado.

Passo 5

Identificamos qual função está acima da outra no intervalo de a . Testando um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 19,5 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. , em torno do eixo .
Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado. .
Encontre o valor médio das funções no intervalo dado. .
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.