Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas, escolher se vamos integrar em relação a
ou
, e calcular a área dessa região. As curvas que temos são:
Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, pontos de interseção e integração para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função
é uma reta, e
é uma parábola que abre para baixo. As retas verticais
e
vão limitar a nossa região de interesse no eixo
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as funções
e
:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções ocorrem nos valores de
e
. Mas como estamos limitando entre
e
, vamos nos concentrar nesse intervalo.
Passo 4
Vamos decidir integrar em relação a
. Isso porque as funções estão facilmente expressas em termos de
para qualquer valor de
, e os limites são dados em
. A área entre duas curvas entre
e
é dada por:
Onde
está acima de
no intervalo considerado.
Passo 5
Identificamos qual função está acima da outra no intervalo de
a
. Testando um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a parábola
está acima da reta
nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 19,5 unidades quadradas.
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
, em torno do eixo
.
Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado.
.
Encontre o valor médio das funções no intervalo dado.
.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.