Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Calcule a área da região. y = x + 1, y = 9 - x^2, x = -1 e x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas, escolher se vamos integrar em relação a x ou y, e calcular a área dessa região. As curvas que temos são:
  • x = 2
Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, pontos de interseção e integração para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função é uma reta, e é uma parábola que abre para baixo. As retas verticais e x = 2 vão limitar a nossa região de interesse no eixo x.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as funções e :
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções ocorrem nos valores de e . Mas como estamos limitando entre e x = 2, vamos nos concentrar nesse intervalo.

Passo 4

Vamos decidir integrar em relação a x. Isso porque as funções estão facilmente expressas em termos de y para qualquer valor de x, e os limites são dados em x. A área entre duas curvas entre e é dada por:
Á
Onde f(x) está acima de g(x) no intervalo considerado.

Passo 5

Identificamos qual função está acima da outra no intervalo de a x = 2. Testando um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0:
Como , a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a x = 2:
Simplificando:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 19,5 unidades quadradas.

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