Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. , em torno do eixo .

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de cálculo sobre volumes de sólidos de revolução. A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta quando a região limitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área das seções circulares formadas durante a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. A equação é uma reta que intercepta o eixo no ponto e o eixo no ponto . Porém, como estamos limitando entre 0 e 2, a reta vai de a .
As outras curvas são (o eixo ) e as linhas verticais e . Portanto, a região a ser girada é um trapézio com base superior de altura 2 no eixo e base inferior interceptando o eixo em quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em infinitos discos perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo ), calcular a área de cada disco e integrar essas áreas ao longo do intervalo de .
A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a função que define a fronteira da região em termos de e e são os limites de integração para .

Passo 4

Identificando as funções e os limites de integração:
  • A função descreve a curva superior da região.
  • A curva inferior é , que está alinhada com o eixo .
  • Os limites de integração são de a .
Então, nosso intervalo de integração é de 0 a 2.

Passo 5

Vamos agora substituir na fórmula do volume:
Antes de integrar, precisamos expandir o termo ao quadrado:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades cúbicas.

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