Uma força age sobre uma partícula segundo a função abaixo. A partícula está localizada a uma distância de metros da origem. Calcule o trabalho realizado pela força para mover um objeto da origem até 8 metros.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que depende da posição de uma partícula em relação à origem. A força é dada por:
Precisamos calcular o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula da origem ( ) até metros. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho em física, que envolve integrar a força ao longo do deslocamento.

Passo 2

O trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento de para é dado pela integral da força em relação a :
No nosso caso, e . Porém, como a força muda de expressão em , precisamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 4 e de 4 a 8.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0 a 4:
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração para potências:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 4 a 8:
Como a força é constante nessa faixa, a integral é simplesmente a força multiplicada pelo deslocamento:

Passo 5

Finalmente, somamos os dois trabalhos calculados para obter o trabalho total realizado:

Resposta

O trabalho realizado pela força ao mover o objeto da origem até 8 metros é de 180 J.

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