Uma força age sobre uma partícula segundo a função abaixo. A partícula está localizada a uma distância de
metros da origem. Calcule o trabalho realizado pela força para mover um objeto da origem até 8 metros.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que depende da posição
de uma partícula em relação à origem. A força é dada por:
Precisamos calcular o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula da origem (
) até
metros. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho em física, que envolve integrar a força ao longo do deslocamento.
Passo 2
O trabalho
realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento de
para
é dado pela integral da força em relação a
:
No nosso caso,
e
. Porém, como a força
muda de expressão em
, precisamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 4 e de 4 a 8.
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0 a 4:
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração para potências:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 4 a 8:
Como a força é constante nessa faixa, a integral é simplesmente a força multiplicada pelo deslocamento:
Passo 5
Finalmente, somamos os dois trabalhos calculados para obter o trabalho total realizado:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao mover o objeto da origem até 8 metros é de 180 J.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado.
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
, em torno do eixo
.