Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região delimitada pelas curvas
e
. Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a
ou a
e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber onde essas curvas se encontram e entender como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
é igual a
. Então, igualamos as duas equações:
Para resolver isso, vamos organizar a equação:
Agora, fazemos cada fator igual a zero:
Daí, temos as soluções:
Assim, as curvas se encontram nos pontos
,
e
.
Passo 3
Vamos esboçar as curvas para visualizar a região:
-
: É uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos , e . -
: Essa curva é semelhante a uma parábola mais “achatada”, também passando pelos mesmos pontos de interseção.
Observando o gráfico, percebemos que entre
e
, a curva
está acima da curva
.
Passo 4
Agora, vamos decidir em relação a qual variável integrar. Como as duas funções estão expressas em termos de
e a relação entre elas é mais direta dessa forma, é mais simples integrar em relação a
.
Passo 5
A fórmula para calcular a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, com
e
.
Resposta
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região.
.
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Uma força age sobre uma partícula segundo a função abaixo. A partícula está localizada a uma distância de
metros da origem. Calcule o trabalho realizado pela força para mover um objeto da origem até 8 metros.
Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado.
.