Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região delimitada pelas curvas e . Depois, vamos decidir se é melhor integrar em relação a ou a e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber onde essas curvas se encontram e entender como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando é igual a . Então, igualamos as duas equações:
Para resolver isso, vamos organizar a equação:
Agora, fazemos cada fator igual a zero:
Daí, temos as soluções:
Assim, as curvas se encontram nos pontos , e .

Passo 3

Vamos esboçar as curvas para visualizar a região:
  • : É uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos , e .
  • : Essa curva é semelhante a uma parábola mais “achatada”, também passando pelos mesmos pontos de interseção.
Observando o gráfico, percebemos que entre e , a curva está acima da curva .

Passo 4

Agora, vamos decidir em relação a qual variável integrar. Como as duas funções estão expressas em termos de e a relação entre elas é mais direta dessa forma, é mais simples integrar em relação a .

Passo 5

A fórmula para calcular a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e , com e .

Resposta

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos nos limites:
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. .
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .
Uma força age sobre uma partícula segundo a função abaixo. A partícula está localizada a uma distância de metros da origem. Calcule o trabalho realizado pela força para mover um objeto da origem até 8 metros.
Ache o comprimento da curva, no intervalo determinado. .