a) Ache o comprimento da curva y = -6 + 2 x do ponto onde x = 2 ao ponto onde x = 4, por integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar o comprimento da curva definida por entre os pontos onde e . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente as integrais para calcular o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre dois valores de , digamos e . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar nossa função e os limites de integração. No nosso caso:
E estamos interessados em de 2 a 4, ou seja, e .

Passo 4

Precisamos calcular a derivada de em relação a , que é :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

A raiz quadrada de 5 é uma constante, então podemos tirar ela da integral:

Resposta

O comprimento da curva de a é unidades.

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