a) Ache o comprimento da curva
do ponto onde
ao ponto onde
, por integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar o comprimento da curva definida por
entre os pontos onde
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo, especificamente as integrais para calcular o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre dois valores de
, digamos
e
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar nossa função e os limites de integração. No nosso caso:
E estamos interessados em
de 2 a 4, ou seja,
e
.
Passo 4
Precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
A raiz quadrada de 5 é uma constante, então podemos tirar ela da integral:
Resposta
O comprimento da curva
de
a
é
unidades.