Encontre o número real b tal que a reta y = b divida a região delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 4 em duas regiões de mesma área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o número real tal que a reta divida a região limitada pelas curvas e em duas partes de mesma área. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas, para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma reta horizontal. Para encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas, igualamos as equações:
Resolvendo para :
Então, a região entre e está entre e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área total dessa região. Como a função é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área de um lado e depois dobrar o resultado.
A área total é dada por:
Aqui, representa a diferença entre as duas curvas, que nos dá a “altura” da região em cada ponto .

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta na expressão da área:
Portanto, a área total é .

Passo 5

Queremos dividir essa área total em duas partes iguais. Então, cada parte deve ter uma área de:
Agora, vamos encontrar o valor de tal que a área entre e seja .

Passo 6

Vamos configurar a integral para a área desejada:
Explicando: é o ponto onde intercepta , e é a diferença entre as duas curvas nessa região.

Passo 7

Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Igualando à área desejada:

Passo 8

Resolvendo para :
Simplificando :

Resposta

O valor de que divide a região em duas partes de mesma área é:

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