Descreva as superfícies de nível de f para os valores de k dados
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 em k = 0.4, 0.9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as superfícies de nível da função para os valores de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificar essas superfícies usando a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre superfícies de nível. Em matemática, uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como , é o conjunto de todos os pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, . Essas superfícies ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica. Temos e queremos encontrar as superfícies de nível para . Isso significa que vamos resolver a equação para cada valor de .

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
    A única solução para essa equação é , , e . Portanto, a superfície de nível nesse caso é apenas o ponto na origem.
  2. Para :
    Essa é a equação de uma esfera com raio , centrada na origem.
  3. Para :
    Aqui, temos outra esfera, agora com raio , também centrada na origem.

Resposta

As superfícies de nível de são:
  • Para : o ponto .
  • Para : uma esfera de raio 2 centrada na origem.
  • Para : uma esfera de raio 3 centrada na origem.

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