Descreva as superfícies de nível de
para os valores de
dados
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descrever as superfícies de nível da função
para os valores de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificar essas superfícies usando a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre superfícies de nível. Em matemática, uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como
, é o conjunto de todos os pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja,
. Essas superfícies ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica. Temos
e queremos encontrar as superfícies de nível para
. Isso significa que vamos resolver a equação
para cada valor de
.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
-
Para
: A única solução para essa equação é, , e . Portanto, a superfície de nível nesse caso é apenas o ponto na origem. -
Para
: Essa é a equação de uma esfera com raio, centrada na origem. -
Para
: Aqui, temos outra esfera, agora com raio, também centrada na origem.
Resposta
As superfícies de nível de
são:
- Para
: o ponto . - Para
: uma esfera de raio 2 centrada na origem. - Para
: uma esfera de raio 3 centrada na origem.