Ache um conjunto de coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. Para isso, demonstre por meio do cálculo e utilize
e 0
.
(a)
(b)
; ©
(d)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas polares dos pontos que já estão nas coordenadas cartesianas. Então, usamos trigonometria básica para converter de
para
, onde
e
. Vamos precisar das fórmulas para calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é definido pela distância até a origem, chamada de
, e pelo ângulo
que o raio faz com o eixo positivo
. As fórmulas para converter de cartesianas para polares são:
Mas atenção! Dependendo do quadrante em que o ponto está, podemos precisar ajustar o ângulo
.
Passo 3
Vamos começar com o item (a):
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Como queremos
entre
e
, adicionamos
:
Passo 4
Agora, vamos para o item (b):
.
Calculando
:
Calculando
:
Como o ponto está no segundo quadrante (x negativo, y positivo), adicionamos
:
Passo 5
Vamos para o item ©:
.
Calculando
:
Calculando
:
Como ambos
e
são positivos, o ângulo já está no primeiro quadrante, então não precisamos ajustar.
Passo 6
Finalmente, o item (d):
.
Calculando
:
Calculando
:
Como e
é negativo, o ponto está no eixo negativo
, então:
Como
Resposta
As coordenadas polares dos pontos são:
- [label=(\alph*)]
-
: -
: -
: -
:
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é contínua apenas em
.
Dado que a equação polar de um gráfico é
, ache a equação cartesiana.
Considere o campo definido em
:
Calcule a integral de linha de
ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem
Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse .
Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse
Represente os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares: