Ache um conjunto de coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. Para isso, demonstre por meio do cálculo e utilize e 0 .
(a) (b) ; © (d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas polares dos pontos que já estão nas coordenadas cartesianas. Então, usamos trigonometria básica para converter de para , onde e . Vamos precisar das fórmulas para calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é definido pela distância até a origem, chamada de , e pelo ângulo que o raio faz com o eixo positivo . As fórmulas para converter de cartesianas para polares são:
Mas atenção! Dependendo do quadrante em que o ponto está, podemos precisar ajustar o ângulo .

Passo 3

Vamos começar com o item (a): .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Como queremos entre e , adicionamos :

Passo 4

Agora, vamos para o item (b): .
Calculando :
Calculando :
Como o ponto está no segundo quadrante (x negativo, y positivo), adicionamos :

Passo 5

Vamos para o item ©: .
Calculando :
Calculando :
Como ambos e são positivos, o ângulo já está no primeiro quadrante, então não precisamos ajustar.

Passo 6

Finalmente, o item (d): .
Calculando :
Calculando :
Como e é negativo, o ponto está no eixo negativo , então:

Resposta

As coordenadas polares dos pontos são:
    [label=(\alph*)]
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :

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Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse .
Represente os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares: