Dado que a equação polar de um gráfico é
, ache a equação cartesiana.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação no sistema polar:
. Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema cartesiano, ou seja, em termos de
e
. Para isso, vamos precisar usar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada para facilitar. Dividindo os dois lados por 10, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas:
Passo 4
Também sabemos que a função trigonométrica
pode ser escrita usando a identidade:
Então, substituindo na equação:
Passo 5
Substituindo
e
pelas expressões em
e
:
Portanto:
Passo 6
Para eliminar o denominador, multiplicamos os dois lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, podemos substituir na equação:
Resposta
A equação cartesiana correspondente é
.
Exercícios relacionados
Sejam
. Determine
e
de modo que
seja mínimo.
A resistência de uma viga de madeira retangular é proporcional a sua largura e ao cubo de sua altura. Determine as proporções (razão entre a altura e a largura) da maior viga que pode ser cortada de um dado tronco cilíndrico.
Mostre que a função
é contínua apenas em
.
Ache um conjunto de coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são dadas. Para isso, demonstre por meio do cálculo e utilize
e 0
.
(a) (b)
; ©
(d)
(a)