Considere o campo definido em
:
Calcule a integral de linha de
ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem
Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse
.
Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido no plano, mas sem o ponto (0,0). A nossa missão é calcular a integral de linha desse campo ao redor de uma circunferência de raio 1, centrada na origem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é a circunferência de raio 1. Mas tem uma manha: o campo tem uma singularidade em (0,0), então a gente precisa ter cuidado.
Passo 3
A sugestão do exercício é isolar essa singularidade usando a equação de uma elipse:
. Isso significa que vamos considerar uma elipse que cerca a origem, evitando passar pela singularidade. Assim, podemos aplicar o Teorema de Green com mais segurança.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula é:
Onde
.
Passo 5
Identificando
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Isso nos mostra que a integral de linha é zero.
Resposta
A integral de linha de
ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem é igual a 0.