Considere o campo definido em R^2 - {(0,0)} :
F = (y / (x^2 + 4y^2), -x / (x^2 + 4y^2))
Calcule a integral de linha de F ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem
Sugestão: isole a singularidade utilizando a equação da elipse C1: x^2 + 4y^2 = a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido no plano, mas sem o ponto (0,0). A nossa missão é calcular a integral de linha desse campo ao redor de uma circunferência de raio 1, centrada na origem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é a circunferência de raio 1. Mas tem uma manha: o campo tem uma singularidade em (0,0), então a gente precisa ter cuidado.

Passo 3

A sugestão do exercício é isolar essa singularidade usando a equação de uma elipse: . Isso significa que vamos considerar uma elipse que cerca a origem, evitando passar pela singularidade. Assim, podemos aplicar o Teorema de Green com mais segurança.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula é:
Onde .

Passo 5

Identificando e no nosso campo:
Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Isso nos mostra que a integral de linha é zero.

Resposta

A integral de linha de ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem é igual a 0.

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