Mostre que a função é contínua apenas em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a função definida por é contínua somente no ponto . Aqui, é a função indicadora dos números racionais, ou seja, ela vale 1 se é racional e 0 se é irracional. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Calculando :
Sabemos que 0 é um número racional, então . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Precisamos considerar duas situações:
  • Quando é racional:
  • Quando é irracional:

Passo 5

Para números racionais próximos a 0, , e como tende a 0, temos .
Para números irracionais próximos a 0, , então .
Como ambos os limites das sequências racionais e irracionais são 0, então:
E isso é igual a , confirmando que a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em qualquer outro ponto na reta real.

Passo 7

Para , vamos analisar o valor de :
  • Se é racional,
  • Se é irracional,

Passo 8

Vamos considerar sequências que se aproximam de :
  • Sequência racional:
  • Sequência irracional:
Como temos dois limites diferentes e , o limite geral não existe ou não coincide com .

Passo 9

Portanto, como o limite não coincide ou não existe para , a função não é contínua em nenhum ponto diferente de 0.

Resposta

A função é contínua apenas em .

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