Mostre que a função
é contínua apenas em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a função definida por
é contínua somente no ponto
. Aqui,
é a função indicadora dos números racionais, ou seja, ela vale 1 se
é racional e 0 se
é irracional. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Calculando
:
Sabemos que 0 é um número racional, então
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Precisamos considerar duas situações:
- Quando
é racional: - Quando
é irracional:
Passo 5
Para números racionais próximos a 0,
, e como
tende a 0, temos
.
Para números irracionais próximos a 0,
, então
.
Como ambos os limites das sequências racionais e irracionais são 0, então:
E isso é igual a
, confirmando que a função é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade em qualquer outro ponto
na reta real.
Passo 7
Para
, vamos analisar o valor de
:
- Se
é racional, - Se
é irracional,
Passo 8
Vamos considerar sequências que se aproximam de
:
- Sequência racional:
- Sequência irracional:
Como temos dois limites diferentes
e
, o limite geral
não existe ou não coincide com
.
Passo 9
Portanto, como o limite não coincide ou não existe para
, a função
não é contínua em nenhum ponto diferente de 0.
Resposta
A função
é contínua apenas em
.