Ache um conjunto de equações simétricas para a reta
l 4 x-3 y+z-2=0 2 x+5 y-3 z+4=0

Passo 1

Então, temos um sistema de duas equações lineares com três variáveis:
l 4x - 3y + z - 2 = 0 2x + 5y - 3z + 4 = 0
Queremos encontrar um conjunto de equações simétricas que representem a reta que é a solução desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e parametrização de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira. Vamos escolher uma variável livre, digamos , onde é um parâmetro real.

Passo 3

Substituindo 4x - 3y + t - 2 = 0 Rightarrow 4x - 3y = 2 - t na primeira equação:

Passo 4

Substituindo 2x + 5y - 3t + 4 = 0 Rightarrow 2x + 5y = 3t - 4 na segunda equação:

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( l 4x - 3y = 2 - t 2x + 5y = 3t - 4 e ):
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de 4x - 3y = 2 - t 4x + 10y = 6t - 8 :
(4x + 10y) - (4x - 3y) = (6t - 8) - (2 - t) 13y = 7t - 10 y = 7t - 1013
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 7

Agora, substituímos 4x - 3(7t - 1013) = 2 - t 4x - 21t - 3013 = 2 - t 4x = 2 - t + 21t - 3013 4x = 26 - 13t + 21t - 3013 4x = 8t - 413 x = 2t - 113 na primeira equação para encontrar :

Passo 8

Agora temos as expressões paramétricas para x = 2t - 113, y = 7t - 1013, z = t , e :

Passo 9

Para escrever as equações simétricas, isolamos t = 13x + 1)/2 t = (13y + 10)/7 t = z em cada expressão:
13x + 12 = 13y + 107 = z
Igualando todas as expressões a :

Resposta

As equações simétricas da reta são:
13x + 12 = 13y + 107 = z

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