Uma equação paramétrica do plano (x, y, z) in R^3 ; 2 x+3 y+5 z=-5, onde s, t in R são parâmetros, é:
(B) (-1,1,-65)+t(-13,0,7)+s(0,18,-10) times

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre uma equação paramétrica para o plano dado pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos achar um ponto específico que esteja no plano e dois vetores diretores que também estejam no plano. Esses vetores vão nos ajudar a descrever todos os pontos do plano através de combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que satisfaça a equação do plano. Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Vamos supor que 2(0) + 3(0) + 5z = -5 Rightarrow 5z = -5 Rightarrow z = -1 e :
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Esses vetores precisam satisfazer a equação do plano quando adicionados ao ponto que encontramos. Vamos chamar os vetores de 2(1) + 3(0) + 5z = -5 Rightarrow 2 + 5z = -5 Rightarrow 5z = -7 Rightarrow z = -75 e .
Para encontrar , vamos deixar e , e resolver para :
Então, o primeiro vetor diretor é .

Passo 4

Para encontrar 2(0) + 3(1) + 5z = -5 Rightarrow 3 + 5z = -5 Rightarrow 5z = -8 Rightarrow z = -85 , vamos deixar e , e resolver para :
Então, o segundo vetor diretor é .

Passo 5

Agora que temos o ponto (0, 0, -1) + t(1, 0, -75) + s(0, 1, -85) e os vetores e , podemos montar a equação paramétrica do plano. A equação geral fica assim:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
(0,, 0,, -1) + t(1,, 0,, -75) + s(0,, 1,, -85)

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