Uma equação paramétrica do plano , onde são parâmetros, é:
(尖)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano no espaço tridimensional definido pela equação 2x + 3y + 5z = -5. O objetivo é encontrar uma equação paramétrica para esse plano, ou seja, expressar as coordenadas (x, y, z) em função de dois parâmetros, geralmente s e t. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar planos parametricamente e encontrar vetores que “alimentem” o plano.
Passo 2
Para encontrar uma equação paramétrica do plano, precisamos de um ponto específico que pertença ao plano e de dois vetores direcionais que estejam dentro do plano. Esses vetores ajudarão a “andar” pelo plano a partir do ponto inicial.
Passo 3
Vamos começar encontrando um ponto que satisfaça a equação do plano. Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos x = 0 e y = 0, podemos encontrar z:
2(0) + 3(0) + 5z = -5 5z = -5 z = -1
Então, um ponto no plano é (0, 0, -1).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Isso significa que se adicionarmos esses vetores ao ponto que encontramos, permaneceremos no plano. Para encontrar esses vetores, podemos escolher duas direções diferentes dentro do plano.
Vamos encontrar um vetor dir seguinte parâmetro t. Por exemplo, vamos variar t no eixo x:
Se t = 1, e y = 0, z = 0, então:
2(1) + 3(0) + 5(0) = 2 neq -5
Não está no plano. Precisamos ajustar. Para que a equação seja satisfeita, precisamos que 2x + 3y + 5z = -5. Vamos escolher x = t e resolver para z quando y = 0:
2t + 0 + 5z = -5 5z = -5 - 2t z = -1 - 25t
Então, um vetor direcional é (1, 0, -25).
Passo 5
Vamos encontrar o segundo vetor direcional variando y. Escolhemos y = s e resolvemos para z quando x = 0:
0 + 3s + 5z = -5 5z = -5 - 3s z = -1 - 35s
Então, o segundo vetor direcional é (0, 1, -35).
Passo 6
Com o ponto (0, 0, -1) e os vetores (1, 0, -25) e (0, 1, -35), podemos escrever a equação paramétrica do plano: