Ache as constantes k e b de modo que
lim x infty[k x+b-x^3+1x^2+1]=0
Qual o significado da reta k x+b ?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar as constantes e de modo que o limite quando vai para o infinito da expressão seja igual a zero. Isso envolve conceitos de limites e comportamento assintótico de funções polinomiais. Vamos precisar entender como as funções se comportam quando fica bem grande e como comparar os termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: x^3 + 1x^2 + 1 = x^3/x^2 + 1/x^2x^2/x^2 + 1/x^2 = x + 1x^21 + 1x^2 . Precisamos simplificar essa fração para entender melhor como ela se comporta para grandes valores de x + 1x^21 + 1x^2 approx x . Vamos dividir numerador e denominador por , que é o maior grau no denominador.
Quando tende ao infinito, os termos com vão a zero, então:

Passo 3

Agora, voltando à expressão original do limite:
limx to infty [ kx + b - x^3 + 1x^2 + 1 ] approx limx to infty (kx + b - x)
Queremos que esse limite seja igual a zero. Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
kx + b - x = (k - 1)x + b

Passo 4

Para que o limite de k - 1 = 0 Rightarrow k = 1 quando (1 - 1)x + b = b vai para o infinito seja zero, precisamos que os coeficientes das potências de sejam zero. Isso porque, se fosse diferente de zero, o termo iria para mais ou menos infinito, dependendo do sinal. Então, temos:
Agora, com , a expressão fica:

Passo 5

Como queremos que o limite seja zero, o termo constante b = 0 também precisa ser zero:

Resposta

As constantes são e . A reta representa a assíntota oblíqua da função , ou seja, a reta que a função se aproxima conforme tende ao infinito.

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