Usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(x)x=1
e lim x +infty(1+1x)^x=e calcule:
(k) lim n +infty(n+4n+7)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o seguinte limite para calcular:
lim n +infty(n+4n+7)^n
Esse problema envolve limites e potências, e vamos usar os limites fundamentais que já conhecemos para chegar na resposta. Vamos precisar manipular a expressão para conseguir aplicar esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observa que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com n+4n+7 = n(1 + 4n)n(1 + 7n) = 1 + 4n1 + 7n . Vamos dividir ambos os lados por :

Passo 3

Agora, reescrevemos a expressão do limite usando essa simplificação:
(1 + 4n1 + 7n)^n
Queremos trazer isso para uma forma que possamos aplicar o limite fundamental .

Passo 4

Vamos manipular a expressão para parecer com 1 + 4n1 + 7n = (1 + 4n) cdot (1 + 7n)^-1 :
(1 + 4n) cdot (1 - 7n) approx 1 + 4n - 7n = 1 - 3n
A gente sabe que tende a quando vai para o infinito. Então, vamos aproximar para quando é muito grande, ou seja, fica bem pequeno:

Passo 5

Agora, a expressão do limite fica assim:
(1 - 3n)^n
E sabemos que:
lim n +infty(1 - 3n)^n = e^-3
Isso porque estamos aplicando o limite fundamental com .

Resposta

O limite é .

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