Esboce o gráfico da função responda as seguintes questões:
(b) Em quais pontos existe ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos descobrir em quais pontos existe o limite . Para isso, vamos lembrar que o limite existe se, ao se aproximar de pela esquerda e pela direita, os valores da função se aproximam do mesmo número.
Passo 2
Vamos analisar os intervalos onde a função está definida:
Para : A função é , que é uma parte da circunferência de raio 1 centrada na origem. Essa parte está bem definida e contínua nesse intervalo.
Para : A função é constante e igual a 1. Funções constantes são contínuas em todo o seu domínio.
No ponto : A função assume o valor 2, mas precisamos verificar se o limite nesse ponto existe.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em cada ponto :
Para : A função é contínua nesse intervalo, pois é uma função composta contínua.
Para : A função é constante (igual a 1), então é contínua nesse intervalo.
No ponto : Precisamos verificar se o limite pela esquerda e pela direita são iguais:
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Como , o limite não existe em .
No ponto : Vamos verificar os limites:
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita (): Não existe, pois a função não está definida para .
Portanto, o limite não existe em .
Resposta
O limite existe para todos os pontos no intervalo , exceto no ponto . Em , o limite também não existe.