Esboce o gráfico da função f(x)=cccraiz1-x^2 & se & 0 <= x<1, 1 & se & 1 <= x<2, e, depois 2, & se & x=2 responda as seguintes questões:
(b) Em quais pontos c existe lim x c f(x) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = raiz1 - x^2 & se 0 <= x < 1, 1 & se 1 <= x < 2, 2 & se x = 2
Queremos descobrir em quais pontos existe o limite . Para isso, vamos lembrar que o limite existe se, ao se aproximar de pela esquerda e pela direita, os valores da função se aproximam do mesmo número.

Passo 2

Vamos analisar os intervalos onde a função está definida:
  1. Para : A função é , que é uma parte da circunferência de raio 1 centrada na origem. Essa parte está bem definida e contínua nesse intervalo.
  2. Para : A função é constante e igual a 1. Funções constantes são contínuas em todo o seu domínio.
  3. No ponto : A função assume o valor 2, mas precisamos verificar se o limite nesse ponto existe.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em cada ponto limx 1^- raiz1 - x^2 = raiz1 - 1 = 0 :
  • Para limx 1^+ 1 = 1 : A função limx 2^- 1 = 1 é contínua nesse intervalo, pois é uma função composta contínua.
  • Para : A função é constante (igual a 1), então é contínua nesse intervalo.
  • No ponto : Precisamos verificar se o limite pela esquerda e pela direita são iguais:
    • Limite pela esquerda ( ):
    • Limite pela direita ( ):
    Como , o limite não existe em .
  • No ponto : Vamos verificar os limites:
    • Limite pela esquerda ( ):
    • Limite pela direita ( ): Não existe, pois a função não está definida para .
      Portanto, o limite não existe em .

Resposta

O limite existe para todos os pontos no intervalo , exceto no ponto . Em , o limite também não existe.

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