Ex. 7. Ache constantes
e
tais que:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a expressão fracionária
e queremos encontrar as constantes
e
que fazem com que essa fração possa ser escrita como
. Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações complexas em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que tornam essa igualdade verdadeira para qualquer valor de
(exceto os que tornam os denominadores zero).
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos somar as duas frações do lado direito. Para isso, precisamos que elas tenham o mesmo denominador. Como já estão com os denominadores
e
, podemos escrever:
Passo 4
Agora, temos:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado direito da equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, temos uma equação onde os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da primeira equação:
Passo 8
Substituímos
na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 9
Resolvemos para
:
Passo 10
Agora, substituímos o valor de
na equação
:
Resposta
As constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:
.
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
§ ;
§
Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
e
.
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(i) ;
(i)