Ex. 7. Ache constantes A e B tais que:
(b) 3 x+19(x-2)(x+3)=Ax-2+Bx+3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a expressão fracionária e queremos encontrar as constantes e que fazem com que essa fração possa ser escrita como . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações complexas em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver:
3x + 19(x - 2)(x + 3) = Ax - 2 + Bx + 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que tornam essa igualdade verdadeira para qualquer valor de (exceto os que tornam os denominadores zero).

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos somar as duas frações do lado direito. Para isso, precisamos que elas tenham o mesmo denominador. Como já estão com os denominadores Ax - 2 + Bx + 3 = A(x + 3) + B(x - 2)(x - 2)(x + 3) e , podemos escrever:

Passo 4

Agora, temos:
3x + 19(x - 2)(x + 3) = A(x + 3) + B(x - 2)(x - 2)(x + 3)
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
3x + 19 = A(x + 3) + B(x - 2)

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito da equação:
3x + 19 = A cdot x + 3A + B cdot x - 2B
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
3x + 19 = (A + B)x + (3A - 2B)

Passo 6

Agora, temos uma equação onde os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
A + B = 3 3A - 2B = 19

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da primeira equação:
A = 3 - B

Passo 8

Substituímos 3(3 - B) - 2B = 19 na segunda equação:
9 - 3B - 2B = 19
Expandindo:
9 - 5B = 19
Simplificando:

Passo 9

Resolvemos para -5B = 19 - 9 -5B = 10 B = 10-5 B = -2 :

Passo 10

Agora, substituímos o valor de A = 3 - (-2) A = 3 + 2 A = 5 na equação :

Resposta

As constantes são e .

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