Construa uma transformação linear com a propriedade pedida:
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma transformação linear
tal que o núcleo (ou kernel) de
seja o conjunto de vetores
em
que satisfazem
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
, ou seja,
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que qualquer vetor
que satisfaz essas duas equações deve ser mapeado para zero por
.
Passo 4
Vamos representar a transformação linear
como uma matriz
de tamanho
, já que mapeia
para
. Ou seja,
, onde
é um vetor em
.
Passo 5
Para que
seja exatamente o conjunto dado, as equações
e
devem ser as únicas soluções para
. Isso implica que as linhas de
devem ser tais que essas equações descrevem todas as relações lineares que fazem com que
.
Passo 6
Vamos construir a matriz
. Como temos duas condições (
e
), podemos associar cada uma a uma linha de
. Por exemplo:
Passo 7
Vamos verificar se
com essa matriz realmente satisfaz as condições. Se
, então:
Isso simplifica para:
Que é exatamente o conjunto que queremos para
.
Resposta
A transformação linear desejada pode ser representada pela matriz:
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Ex. 7. Ache constantes
e
tais que:
(b) .
(b)
Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:
.
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(i) ;
(i)
A transformação linear
dada por
é injetiva? É sobrejetiva?