Construa uma transformação linear com a propriedade pedida: T: R^3 R^2 tal que Ker(T)=(x, y, z) in R^3: x+y=0 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma transformação linear tal que o núcleo (ou kernel) de seja o conjunto de vetores em que satisfazem e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e seus núcleos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em , ou seja, .

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que qualquer vetor que satisfaz essas duas equações deve ser mapeado para zero por .

Passo 4

Vamos representar a transformação linear como uma matriz de tamanho , já que mapeia para . Ou seja, , onde é um vetor em .

Passo 5

Para que seja exatamente o conjunto dado, as equações e devem ser as únicas soluções para . Isso implica que as linhas de devem ser tais que essas equações descrevem todas as relações lineares que fazem com que .

Passo 6

Vamos construir a matriz A = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Como temos duas condições ( e ), podemos associar cada uma a uma linha de . Por exemplo:

Passo 7

Vamos verificar se 1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = 0 0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z = 0 com essa matriz realmente satisfaz as condições. Se x + y = 0 z = 0 , então:
Isso simplifica para:
Que é exatamente o conjunto que queremos para .

Resposta

A transformação linear desejada pode ser representada pela matriz:
T = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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