Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa: T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y2, y+z2, z+x2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é invertível e, se for, encontrar a sua inversa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e matrizes. Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Depois, vamos verificar se essa matriz é invertível, ou seja, se ela tem um determinante diferente de zero. Se for invertível, encontraremos a matriz inversa, que representará a transformação inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = (x + y2, y + z2, z + x2) por uma matriz. Para isso, analisamos como x y z transforma cada vetor A = 1 & 12 & 0 0 & 1 & 12 12 & 0 & 1 :
Podemos expressar isso na forma matricial , onde a matriz de é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 12 cdot 0) - 12 cdot (0 cdot 1 - 12 cdot 12) + 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 12) é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (1 - 0) - 12 cdot (0 - 14) + 0 :
det(A) = 1 + 18 = 98
Simplificando:
Como , a matriz é invertível. Portanto, a transformação também é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 198 cdot adj(A) = 89 cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 89 & -49 & -49 -49 & 89 & -49 -49 & -49 & 89 . Para isso, podemos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3 ou métodos como a matriz adjunta. Vamos calcular :
Primeiro, calculamos a matriz adjunta de e depois dividimos pelo determinante.
Depois de realizar os cálculos, encontramos:
Após calcular a adjunta, obtemos:

Resposta

A transformação linear T^-1(x, y, z) = (89x - 49y - 49z, -49x + 89y - 49z, -49x - 49y + 89z) é invertível e a sua inversa é dada por:

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