Ache o cosseno do angulo formado pelos vetores dados em cada caso:
(b) u=(-1,1,1), v=(1,1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e precisamos encontrar o cosseno do ângulo formado entre eles. Para resolver isso, vamos usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar dos vetores u cdot v = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(1) e (-1)(1) = -1 . O produto escalar é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses resultados. A fórmula é:
(1)(1) = 1
Calculando cada termo:
(1)(1) = 1
u cdot v = -1 + 1 + 1 = 1
Somando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores ||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 e ||u|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 . A magnitude de um vetor ||v|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 é calculada pela fórmula:
Vamos calcular cada uma:
Para :
Para :

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 1raiz3 times raiz3 = 13

Resposta

O cosseno do ângulo formado pelos vetores e é .

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