Determine os pontos da elipse
x^2100+y^236=1
cuja distância ao foco que se encontra no semi-eixo positivo O x seja igual a 14 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma elipse. A questão nos pede para encontrar os pontos da elipse definida por
x^2100+y^236=1
cuja distância a um dos focos, localizado no semi-eixo positivo dos , seja igual a 14. Para isso, vamos precisar entender as propriedades das elipses e utilizar a fórmula da distância entre pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da elipse. A equação da elipse está na forma padrão:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde a^2 = 100 Rightarrow a = 10 b^2 = 36 Rightarrow b = 6 é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância dos focos ao centro da elipse. A fórmula para a distância c = raiza^2 - b^2 de cada foco em relação ao centro é:
c = raiz100 - 36 = raiz64 = 8
Calculando:
Então, os focos estão localizados nos pontos e . Como o problema menciona o foco no semi-eixo positivo , vamos considerar o ponto .

Passo 4

Queremos encontrar os pontos raiz(x - xfoco)^2 + (y - yfoco)^2 = 14 na elipse cuja distância até o foco raiz(x - 8)^2 + y^2 = 14 seja 14. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
(x - 8)^2 + y^2 = 196
Substituindo e :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. A equação da elipse: x^2100 + y^236 = 1
  2. A equação da distância: (x - 8)^2 + y^2 = 196
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 6

Primeiro, expressamos x^2100 + y^236 = 1 Rightarrow y^236 = 1 - x^2100 Rightarrow y^2 = 36 (1 - x^2100) Rightarrow y^2 = 36 - 36x^2100 Rightarrow y^2 = 36 - 9x^225 da equação da elipse em função de :

Passo 7

Substituímos (x - 8)^2 + (36 - 9x^225) = 196 Rightarrow (x - 8)^2 + 36 - 9x^225 = 196 na segunda equação:
x^2 - 16x + 64 + 36 - 9x^225 = 196 Rightarrow x^2 - 16x + 100 - 9x^225 = 196
Expandindo :

Passo 8

Multiplicamos tudo por 25 para eliminar o denominador:
25x^2 - 400x + 2500 - 9x^2 = 4900 Rightarrow (25x^2 - 9x^2) - 400x + 2500 = 4900 Rightarrow 16x^2 - 400x + 2500 = 4900

Passo 9

Subtraímos 4900 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
16x^2 - 400x + 2500 - 4900 = 0 Rightarrow 16x^2 - 400x - 2400 = 0
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 16:
x^2 - 25x - 150 = 0

Passo 10

Resolvemos a equação quadrática:
x^2 - 25x - 150 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 25 pm raiz25^2 - 4 cdot 1 cdot (-150)2 cdot 1 x = 25 pm raiz625 + 6002 x = 25 pm raiz12252 x = 25 pm 352
Então, temos duas soluções para x = 25 + 352 = 30 x = 25 - 352 = -5 :

Passo 11

Agora, encontramos os valores de 30^2100 + y^236 = 1 Rightarrow 900100 + y^236 = 1 Rightarrow 9 + y^236 = 1 Rightarrow y^236 = -8 correspondentes usando a equação da elipse. Primeiro, para (-5)^2100 + y^236 = 1 Rightarrow 25100 + y^236 = 1 Rightarrow 0,25 + y^236 = 1 Rightarrow y^236 = 0,75 Rightarrow y^2 = 0,75 times 36 Rightarrow y^2 = 27 Rightarrow y = pm raiz27 = pm 3raiz3 :
Aqui, temos um problema: não pode ser negativo. Isso significa que não é uma solução válida.
Para :

Resposta

Os pontos da elipse cuja distância ao foco no semi-eixo positivo (-5, 3raiz3) e (-5, -3raiz3) é igual a 14 são:

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