Determine os pontos da elipse
cuja distância ao foco que se encontra no semi-eixo positivo
seja igual a 14 .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma elipse. A questão nos pede para encontrar os pontos da elipse definida por
cuja distância a um dos focos, localizado no semi-eixo positivo dos
, seja igual a 14. Para isso, vamos precisar entender as propriedades das elipses e utilizar a fórmula da distância entre pontos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da elipse. A equação da elipse está na forma padrão:
onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância dos focos ao centro da elipse. A fórmula para a distância
de cada foco em relação ao centro é:
Calculando:
Então, os focos estão localizados nos pontos
e
. Como o problema menciona o foco no semi-eixo positivo
, vamos considerar o ponto
.
Passo 4
Queremos encontrar os pontos
na elipse cuja distância até o foco
seja 14. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
- A equação da elipse:
- A equação da distância:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Primeiro, expressamos
da equação da elipse em função de
:
Passo 7
Substituímos
na segunda equação:
Expandindo
:
Passo 8
Multiplicamos tudo por 25 para eliminar o denominador:
Passo 9
Subtraímos 4900 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 16:
Passo 10
Resolvemos a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 11
Agora, encontramos os valores de
correspondentes usando a equação da elipse. Primeiro, para
:
Aqui, temos um problema:
não pode ser negativo. Isso significa que
não é uma solução válida.
Para
:
Resposta
Os pontos da elipse cuja distância ao foco no semi-eixo positivo
é igual a 14 são: