Considere a matriz A=[ll1 & 1 0 & 1] de ordem 2 times 2.
Seja:
B=A+2 A^2+3 A^3+4 A^4
Determine: det(B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz 1 & 1 0 & 1 e precisa calcular o determinante de uma combinação linear delas e suas potências: . O conteúdo aqui envolve matrizes, potências de matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular cada potência de , montar a matriz e, por fim, achar o determinante dessa matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 1 & 1 0 & 1 times 1 & 1 0 & 1 = 1 times 1 + 1 times 0 & 1 times 1 + 1 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 1 = 1 & 2 0 & 1 . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira pela coluna da segunda:

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 1 & 2 0 & 1 times 1 & 1 0 & 1 = 1 times 1 + 2 times 0 & 1 times 1 + 2 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 1 = 1 & 3 0 & 1 multiplicando por :

Passo 4

Seguimos para A^4 = A^3 times A = 1 & 3 0 & 1 times 1 & 1 0 & 1 = 1 times 1 + 3 times 0 & 1 times 1 + 3 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 1 = 1 & 4 0 & 1 , multiplicando por :

Passo 5

Agora que temos B = A + 2A^2 + 3A^3 + 4A^4 = 1 & 1 0 & 1 + 2 times 1 & 2 0 & 1 + 3 times 1 & 3 0 & 1 + 4 times 1 & 4 0 & 1 e 2A^2 = 2 & 4 0 & 2 , 3A^3 = 3 & 9 0 & 3 , 4A^4 = 4 & 16 0 & 4 , vamos montar a matriz B = 1+2+3+4 & 1+4+9+16 0+0+0+0 & 1+2+3+4 = 10 & 30 0 & 10 :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o determinante de det(B) = (a times d) - (b times c) . Para uma matriz det( 10 & 30 0 & 10 ) = (10 times 10) - (30 times 0) = 100 - 0 = 100 :
Aplicando aos nossos valores:

Resposta

O determinante de é .

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