Sabendo que A B=i+j k, e AD=2 i+j+4 k, Calcule a área do paralelogramo ABCD.
R=raiz62

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional: AB e AD. O objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses vetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de um paralelogramo a partir de dois vetores.

Passo 2

Vamos identificar os componentes dos vetores fornecidos:
  • AB = i + j + k
  • AD = 2i + j + 4k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a área do paralelogramo formado por AB e AD, usamos o produto vetorial dos dois vetores. O produto vetorial resulta em um novo vetor cuja magnitude representa a área do paralelogramo.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AB times AD utilizando a regra do determinante:
AB times AD = i & j & k 1 & 1 & 1 2 & 1 & 4

Passo 5

Calculando o determinante:
AB times AD = i(1 cdot 4 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 4 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 2)
= i(4 - 1) - j(4 - 2) + k(1 - 2)
= 3i - 2j - k

Passo 6

Agora, encontramos a magnitude desse vetor para determinar a área:
|AB times AD| = raiz3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14

Resposta

R=raiz14

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