Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
b) r:lx=3+t y=-2-t z=raiz2 t e s:lx=-2+t y=3+t z=-5+raiz2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre o ângulo entre retas. Vamos precisar das direções das duas retas para aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Olhando as equações paramétricas:
Para a reta r: x = 3 + t y = -2 - t z = raiz2, t :
1 -1 raiz2
O vetor diretor da reta s: x = -2 + t y = 3 + t z = -5 + raiz2, t é 1 1 raiz2 .
Para a reta :
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores cos(theta) = u cdot v|u|,|v| e , vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (1)(1) + (-1)(1) + (raiz2)(raiz2) = 1 - 1 + 2 = 2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |u| = raiz1^2 + (-1)^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 1 + 2 = raiz4 = 2 e |v| = raiz1^2 + 1^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 1 + 2 = raiz4 = 2 :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 22 times 2 = 24 = 12

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é .

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