Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta
r:l x=1-2 t y=-3-3 z=-4+t (t in R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores de x = 1 - 2t y = -3 - 3t z = -4 + t e para que o ponto esteja na reta . A reta está dada pelas equações paramétricas:
Aqui, é um número real que varia. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação paramétrica de uma reta e igualar as coordenadas do ponto com as equações da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a coordenada 3 = 1 - 2t do ponto com a equação de da reta. Sabemos que para o ponto , então temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Resolvendo 3 - 1 = -2t 2 = -2t t = -1 :
Então, o valor de que satisfaz a equação da coordenada é .

Passo 4

Com o valor de y = -3 - 3t encontrado, vamos usar ele para encontrar y = -3 - 3(-1) = -3 + 3 = 0 e nas outras coordenadas.
Primeiro, vamos encontrar , que é a coordenada do ponto . A equação da reta para é:
Substituindo :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar z = -4 + t , que é a coordenada z = -4 + (-1) = -5 do ponto . A equação da reta para é:
Substituindo :
Então, .

Resposta

Os valores são e .

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