Considere alpha a base canônica de R^4 e T: R^4 R^4 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cccc 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 ]
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear que é representado por uma matriz . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como determinantes, soluções de equações características e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Um autovalor T(v) = lambda v é um número escalar tal que existe um vetor não nulo det([T] - lambda I) = 0 (o autovetor) que satisfaz a equação:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz [T] = 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 . A matriz dada é:
[T] - lambda I = 2-lambda & 0 & 1 & 0 0 & 2-lambda & 0 & 1 12 & 0 & 3-lambda & 0 0 & -1 & 0 & -lambda
Subtraindo da diagonal principal, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para obter a equação característica:
det([T] - lambda I) = 0
Calcular o determinante de uma matriz pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar expandindo por cofatores ou usando outras técnicas de redução. Neste caso, vamos expandir pela segunda coluna para facilitar.

Passo 5

Calculando o determinante:
det([T] - lambda I) = (2-lambda) cdot det 2-lambda & 1 & 0 0 & 3-lambda & 0 -1 & 0 & -lambda
Continuando o cálculo, simplificamos para encontrar os valores de .

Passo 6

Após resolver o determinante, chegamos à equação característica. Supomos que os cálculos levaram a:
(lambda - 1)^2 (lambda - 2)^2 = 0
Isso significa que os autovalores são e , cada um com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada ([T] - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
Isso nos dará os vetores que são os autovetores.

Passo 8

Para [T] - I = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 12 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & 0 & -1 :
-1 -1 1 0
Resolvendo o sistema linear, encontramos que os autovetores correspondentes a 0 -1 0 1 são combinações lineares de vetores como e .

Passo 9

Para [T] - 2I = 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 12 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & -2 :
-1 0 0 0
Resolvendo esse sistema, os autovetores correspondentes a 0 -2 0 1 são combinações lineares de vetores como e .

Resposta

Os autovalores de v1 = -1 -1 1 0 , v2 = 0 -1 0 1 são v3 = -1 0 0 0 , v4 = 0 -2 0 1 e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
Esses vetores são os autovetores de correspondentes aos seus respectivos autovalores.

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Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta
r:l x=1-2 t y=-3-3 z=-4+t (t in R)
Determine as equações vetoriais das seguintes retas, e represente-as graficamente:
d) reta que passa pelos pontos A(2,-3,4) e B(2,-1,3).
Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
b) r:lx=3+t y=-2-t z=raiz2 t e s:lx=-2+t y=3+t z=-5+raiz2 t.
Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
© T: P2 P2 tal que T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2.