Ache uma curva parametrizada
cujo traço é a circunferência unitária, percorrida no sentido horário, com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma curva parametrizada
cujo traço seja a circunferência unitária (ou seja, um círculo com raio 1), que seja percorrida no sentido horário. Além disso, a curva deve começar no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de parametrização de circunferências e entender como ajustar o sentido de percurso.
Passo 2
Sabemos que a parametrização padrão de uma circunferência unitária, percorrida no sentido contrário ao horário (sentido anti-horário), é dada por:
onde
varia de
a
. Nesse caso, quando
, o ponto inicial é
.
Passo 3
Como queremos que o percurso seja no sentido horário, precisamos inverter a direção. Para isso, podemos modificar o sinal do seno na parametrização. Assim, a parametrização vira:
Agora, ao variar
de
a
, a curva será percorrida no sentido horário. Entretanto, vamos verificar se o ponto inicial atende à condição dada.
Passo 4
Vamos calcular
com a nova parametrização:
Mas a questão pede que
. Isso significa que precisamos ajustar a parametrização para que, quando
, o ponto seja
.
Passo 5
Para ajustar o ponto inicial, podemos deslocar a parametrização em um ângulo de
radianos. Isso significa substituir
por
. Então, a nova parametrização fica:
Passo 6
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Substituindo na parametrização:
Passo 7
Verificando o ponto inicial:
Perfeito! Agora a curva começa no ponto
e é percorrida no sentido horário.
Resposta
A curva parametrizada que atende às condições é: