Ache uma curva parametrizada alpha(t) cujo traço é a circunferência unitária, percorrida no sentido horário, com alpha(0)=(0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma curva parametrizada alpha(t) cujo traço seja a circunferência unitária (ou seja, um círculo com raio 1), que seja percorrida no sentido horário. Além disso, a curva deve começar no ponto alpha(0) = (0, 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas básicas de parametrização de circunferências e entender como ajustar o sentido de percurso.

Passo 2

Sabemos que a parametrização padrão de uma circunferência unitária, percorrida no sentido contrário ao horário (sentido anti-horário), é dada por:
alpha(t) = (cos t, sin t)
onde t varia de 0 a 2pi. Nesse caso, quando t = 0, o ponto inicial é (1, 0).

Passo 3

Como queremos que o percurso seja no sentido horário, precisamos inverter a direção. Para isso, podemos modificar o sinal do seno na parametrização. Assim, a parametrização vira:
alpha(t) = (cos t, -sin t)
Agora, ao variar t de 0 a 2pi, a curva será percorrida no sentido horário. Entretanto, vamos verificar se o ponto inicial atende à condição dada.

Passo 4

Vamos calcular alpha(0) com a nova parametrização:
alpha(0) = (cos 0, -sin 0) = (1, 0)
Mas a questão pede que alpha(0) = (0, 1). Isso significa que precisamos ajustar a parametrização para que, quando t = 0, o ponto seja (0, 1).

Passo 5

Para ajustar o ponto inicial, podemos deslocar a parametrização em um ângulo de pi2 radianos. Isso significa substituir t por t - pi2. Então, a nova parametrização fica:
alpha(t) = (cos(t - pi2), -sin(t - pi2))

Passo 6

Simplificando usando identidades trigonométricas:
cos(t - pi2) = sin t sin(t - pi2) = -cos t
Substituindo na parametrização:
alpha(t) = (sin t, cos t)

Passo 7

Verificando o ponto inicial:
alpha(0) = (sin 0, cos 0) = (0, 1)
Perfeito! Agora a curva começa no ponto (0, 1) e é percorrida no sentido horário.

Resposta

A curva parametrizada que atende às condições é:
alpha(t) = (sin t, cos t), t in R

Exercícios relacionados