Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=(raizt-1, raiz2-t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio de r(t), da primeira derivada r^prime(t) e da segunda derivada r^prime prime(t) para a função vetorial r(t) = (raizt-1, raiz2-t). Isso tá no contexto de cálculo diferencial, especificamente sobre derivação de funções vetoriais e análise de domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de r(t). O domínio consiste nos valores de t para os quais todas as componentes da função estão definidas.
Olha só:
  • Na primeira componente, temos raizt-1. A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero. Então, t-1 >= 0 t >= 1.
  • Na segunda componente, raiz2-t. Tampouco pode ter número negativo dentro da raiz. Então, 2-t >= 0 t <= 2.
Juntando as duas condições, t precisa ser maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2. Ou seja, 1 <= t <= 2.

Passo 3

Agora, vamos derivar r(t) para encontrar r^prime(t).
A derivada de uma função vetorial é a derivada de cada componente:
r^prime(t) = ( ddt raizt-1, ddt raiz2-t )
Calculando cada derivada:
ddt raizt-1 = 12raizt-1
ddt raiz2-t = -12raiz2-t
Então,
r^prime(t) = ( 12raizt-1, -12raiz2-t )
Agora, vamos determinar o domínio de r^prime(t). As raízes no denominador não podem ser zero, então:
  • Para 12raizt-1, precisamos que t-1 > 0 t > 1.
  • Para -12raiz2-t, precisamos que 2-t > 0 t < 2.
Então, o domínio de r^prime(t) é 1 < t < 2.

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada, r^prime prime(t).
Derivando r^prime(t):
r^prime prime(t) = ( ddt ( 12raizt-1 ), ddt ( -12raiz2-t ) )
Calculando cada derivada:
ddt ( 12raizt-1 ) = -14(t-1)^3/2
ddt ( -12raiz2-t ) = -14(2-t)^3/2 cdot (-1) = 14(2-t)^3/2
Então,
r^prime prime(t) = ( -14(t-1)^3/2, 14(2-t)^3/2 )
Para o domínio de r^prime prime(t), as mesmas condições de antes se aplicam, mas agora com as potências:
  • t-1 > 0 t > 1
  • 2-t > 0 t < 2
Assim, o domínio de r^prime prime(t) também é 1 < t < 2.

Resposta

O domínio de r(t) é 1 <= t <= 2, e tanto o domínio de r^prime(t) quanto o de r^prime prime(t) é 1 < t < 2.

Exercícios relacionados