Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio de
, da primeira derivada
e da segunda derivada
para a função vetorial
. Isso tá no contexto de cálculo diferencial, especificamente sobre derivação de funções vetoriais e análise de domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de
. O domínio consiste nos valores de
para os quais todas as componentes da função estão definidas.
Olha só:
- Na primeira componente, temos
. A raiz quadrada só é definida para números maiores ou iguais a zero. Então, ⟹ . - Na segunda componente,
. Tampouco pode ter número negativo dentro da raiz. Então, ⟹ .
Juntando as duas condições,
precisa ser maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
.
A derivada de uma função vetorial é a derivada de cada componente:
Calculando cada derivada:
Então,
Agora, vamos determinar o domínio de
. As raízes no denominador não podem ser zero, então:
- Para
, precisamos que ⟹ . - Para
, precisamos que ⟹ .
Então, o domínio de
é
.
Passo 4
Seguimos para a segunda derivada,
.
Derivando
:
Calculando cada derivada:
Então,
Para o domínio de
, as mesmas condições de antes se aplicam, mas agora com as potências:
-
⟹ -
⟹
Assim, o domínio de
também é
.
Resposta
O domínio de
é
, e tanto o domínio de
quanto o de
é
.