Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço. 9 y^2-4 x^2=36

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar os conceitos de equações de hipérboles, identificar os parâmetros necessários e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole vertical é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Vamos dividir os dois lados da equação original por 36 para ajustar:
9y^236 - 4x^236 = 3636
Simplificando:
y^24 - x^29 = 1
Agora, temos a equação na forma padrão, onde e .

Passo 3

Com os valores de a = raiz4 = 2 e b = raiz9 = 3 , podemos encontrar e :

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância (0, pm a) = (0, pm 2) acima e abaixo do centro. Como o centro aqui é a origem (0,0), os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 4 + 9 = 13 implies c = raiz13 :
(0, pm c) = (0, pm raiz13)
Então, os focos estão em:

Passo 6

A excentricidade e = ca = raiz132 da hipérbole é dada por:

Passo 7

As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas pelas equações:
y = pm abx
Substituindo y = pm 23x e :

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Assíntotas: e
Além disso, o esboço da hipérbole seria uma curva aberta verticalmente com os vértices e focos marcados conforme acima, e as assíntotas servindo como diretrizes para a forma da curva.

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