Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar os conceitos de equações de hipérboles, identificar os parâmetros necessários e aplicar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole vertical é:
Vamos dividir os dois lados da equação original por 36 para ajustar:
Simplificando:
Agora, temos a equação na forma padrão, onde
e
.
Passo 3
Com os valores de
e
, podemos encontrar
e
:
Passo 4
Os vértices de uma hipérbole vertical estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro. Como o centro aqui é a origem (0,0), os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão em:
Passo 6
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Passo 7
As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas pelas equações:
Substituindo
e
:
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Assíntotas:
e
Além disso, o esboço da hipérbole seria uma curva aberta verticalmente com os vértices e focos marcados conforme acima, e as assíntotas servindo como diretrizes para a forma da curva.