Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a curvatura da curva definida pelas equações paramétricas , , no ponto onde . Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas no espaço tridimensional, que envolve derivadas das funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva paramétrica é dada por:
onde é a velocidade (derivada da posição em relação a ) e é a aceleração (segunda derivada da posição em relação a ).

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas necessárias. As funções paramétricas são:
A primeira derivada (velocidade) é:
A segunda derivada (aceleração) é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial :

Passo 6

Em seguida, calculamos o módulo da velocidade :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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