Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a curvatura da curva definida pelas equações paramétricas , , no ponto onde . Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas no espaço tridimensional, que envolve derivadas das funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva paramétrica é dada por:
onde é a velocidade (derivada da posição em relação a ) e é a aceleração (segunda derivada da posição em relação a ).
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas necessárias. As funções paramétricas são:
A primeira derivada (velocidade) é:
A segunda derivada (aceleração) é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial :
Passo 6
Em seguida, calculamos o módulo da velocidade :
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:
Passo 8
Finalmente, substituímos na expressão da curvatura: