Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
c) R(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria diferencial! O enunciado pede para encontrar o triedro móvel e a curvatura da curva definida por no ponto onde . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessa função para encontrar os vetores tangente, normal e binormal, que formam o triedro, e depois usar essas informações para achar a curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Para isso, calculamos a primeira derivada de em relação a :
Calculando cada derivada:
Portanto,
No ponto :
Agora, normalizamos esse vetor para obter o vetor tangente unitário :

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal. Para isso, precisamos da segunda derivada de :
Calculando as derivadas:
Portanto,
No ponto :
Agora, encontramos o vetor normal usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Então,
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos obter o vetor binormal , que é o produto vetorial de e :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 5

Agora que já temos , e , formamos o triedro móvel:
Agora, vamos calcular a curvatura da curva no ponto . A fórmula para a curvatura é:
No ponto :
Calculando o produto vetorial :
Então,

Resposta

O triedro móvel no ponto é dado por:
E a curvatura da curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
9x^2 + 4y^2 = 36
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
r = 3 cos(θ)