Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria diferencial! O enunciado pede para encontrar o triedro móvel e a curvatura da curva definida por no ponto onde . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessa função para encontrar os vetores tangente, normal e binormal, que formam o triedro, e depois usar essas informações para achar a curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Para isso, calculamos a primeira derivada de em relação a :
Calculando cada derivada:
Portanto,
No ponto :
Agora, normalizamos esse vetor para obter o vetor tangente unitário :
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal. Para isso, precisamos da segunda derivada de :
Calculando as derivadas:
Portanto,
No ponto :
Agora, encontramos o vetor normal usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos obter o vetor binormal , que é o produto vetorial de e :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 5
Agora que já temos , e , formamos o triedro móvel:
Agora, vamos calcular a curvatura da curva no ponto . A fórmula para a curvatura é: