Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela equação vetorial
. O que precisamos fazer é encontrar:
- Vetor Velocidade (
) - Vetor Aceleração (
) - Aceleração Tangencial (
) - Aceleração Normal (
)
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Vetor Velocidade (
). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o Vetor Aceleração (
). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Assim, derivando
:
Passo 4
Para encontrar as acelerações tangencial e normal, precisamos primeiro calcular a magnitude da velocidade
e usar as fórmulas das acelerações.
A magnitude da velocidade é:
Passo 5
A Aceleração Tangencial (
) é dada pela derivada da magnitude da velocidade:
A Aceleração Normal (
) pode ser encontrada usando a seguinte relação:
Sabemos que
, então sua magnitude é:
Então:
Resposta
Os vetores e escalares solicitados são:
Exercícios relacionados
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
c)
c)
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.