Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva definida pela equação vetorial . O que precisamos fazer é encontrar:
  • Vetor Velocidade ( )
  • Vetor Aceleração ( )
  • Aceleração Tangencial ( )
  • Aceleração Normal ( )
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo vetorial, principalmente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Vetor Velocidade ( ). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o Vetor Aceleração ( ). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Assim, derivando :

Passo 4

Para encontrar as acelerações tangencial e normal, precisamos primeiro calcular a magnitude da velocidade e usar as fórmulas das acelerações.
A magnitude da velocidade é:

Passo 5

A Aceleração Tangencial ( ) é dada pela derivada da magnitude da velocidade:
A Aceleração Normal ( ) pode ser encontrada usando a seguinte relação:
Sabemos que , então sua magnitude é:
Então:

Resposta

Os vetores e escalares solicitados são:

Exercícios relacionados

Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = 2t cos(t) i + 5t j + 2t sen(t) k
Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
c) R(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k, t=0
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
9x^2 + 4y^2 = 36