Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o vetor tangente unitário da curva definida pela equação vetorial dada. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e normalização. Vamos precisar derivar a função
pra achar o vetor tangente e depois normalizar ele pra ficar com comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A função dada é:
Vamos derivar cada componente separadamente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, a derivada
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que é necessária pra normalizar o vetor. A magnitude é dada por:
Passo 4
Com a derivada e a magnitude em mãos, podemos achar o vetor tangente unitário
dividindo
pela sua magnitude:
Resposta
O vetor tangente unitário é: