Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0 b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a curvatura de duas curvas no ponto onde . A matéria aqui é Curvatura de Curvas no Espaço. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da curvatura que envolve as derivadas primeira e segunda das funções que definem a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura ( ) para uma curva parametrizada no espaço:
Aqui, é o vetor posição da curva, é a primeira derivada (velocidade) e é a segunda derivada (aceleração). O símbolo representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) da questão:
Primeiro, determinamos :
Agora, vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo :
Agora, fazemos o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:

Passo 5

Aplicando na fórmula da curvatura:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, :
Calculando as derivadas:

Passo 7

Substituindo :
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:

Passo 8

Aplicando na fórmula da curvatura:

Resposta

a) A curvatura em é .
b) A curvatura em é .

Exercícios relacionados

Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d) R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0
Inverter a ordem de integração. integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x.
Considere as seguintes afirmaçōes:
A) Uma série
(
sumn=1^+infty an
é dita absolutamente convergente se a série de valores
absolutos
sumn=1^+infty|an|
for convergente.
B) Uma série
sumn=1^+infty an
é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas nāo for absolutamente convergente.
C) Se uma série
sumn=1^+infty an
for absolutamente convergente, entāo ela é convergente.
D) A série
sumn=1^+infty(2 n+33 n+2)^n
converge pela teste da raíz.

Estāo corretas.

Escolha uma opção:

a. Apenas a afirmação B.
b. Todas as afirmações.
c. Nenhuma das afirmações.
d. Apenas as afirmaçőes A, B e C.