Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a curvatura de duas curvas no ponto onde
. A matéria aqui é Curvatura de Curvas no Espaço. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da curvatura que envolve as derivadas primeira e segunda das funções que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura (
) para uma curva parametrizada no espaço:
Aqui,
é o vetor posição da curva,
é a primeira derivada (velocidade) e
é a segunda derivada (aceleração). O símbolo
representa o produto vetorial.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) da questão:
Primeiro, determinamos
:
Agora, vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo
:
Agora, fazemos o produto vetorial
:
O módulo desse vetor é:
E o módulo de
é:
Passo 5
Aplicando na fórmula da curvatura:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b):
Primeiro,
:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituindo
:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo de
é:
Passo 8
Aplicando na fórmula da curvatura:
Resposta
a) A curvatura em
é
.
b) A curvatura em
é
.
Exercícios relacionados
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b)R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c)R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d)
R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2
a)
b)
c)
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Inverter a ordem de integração.
integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x .
Considere as seguintes afirmaçōes:
A) Uma série
(
A) Uma série
(
é dita absolutamente convergente se a série de valores
absolutos
absolutos
for convergente.
B) Uma série
B) Uma série
é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas nāo for absolutamente convergente.
C) Se uma série
C) Se uma série
for absolutamente convergente, entāo ela é convergente.
D) A série
D) A série
converge pela teste da raíz.
Estāo corretas.
Escolha uma opção:
a. Apenas a afirmação B.
b. Todas as afirmações.
c. Nenhuma das afirmações.
d. Apenas as afirmaçőesA, B e C.
b. Todas as afirmações.
c. Nenhuma das afirmações.
d. Apenas as afirmaçőes