Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d) R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para encontrarmos a curvatura e o raio de curvatura da curva definida por no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a curvatura ( ) de uma curva parametrizada. A fórmula é:
E o raio de curvatura ( ) é simplesmente o inverso da curvatura:
Vamos precisar das primeiras e segundas derivadas de .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada :
Agora a segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
A norma desse vetor é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Substituindo :

Passo 7

Finalmente, o raio de curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto é aproximadamente e o raio de curvatura é aproximadamente .

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Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d) R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0 b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0
Inverter a ordem de integração. integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x.