Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)
b)
c) d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para encontrarmos a curvatura e o raio de curvatura da curva definida por no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a curvatura () de uma curva parametrizada. A fórmula é:
E o raio de curvatura () é simplesmente o inverso da curvatura:
Vamos precisar das primeiras e segundas derivadas de .
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada :
Agora a segunda derivada :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
A norma desse vetor é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:
Passo 6
Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Substituindo :
Passo 7
Finalmente, o raio de curvatura:
Resposta
A curvatura no ponto é aproximadamente e o raio de curvatura é aproximadamente .