Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos transformar as equações dadas de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como converter as variáveis
,
e
para
,
e
nas coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão:
Além disso, sabemos que
.
Passo 2
Vamos resolver a parte a):
r^2 - 9z = 0 implies r^2 - 9rcosphi = 0 .
Primeiro, observamos que
r(r - 9cosphi) = 0 . Então, substituindo:
Fatorando
:
Ignoramos
(ponto trivial), então:
Passo 3
Agora, a parte b):
r^2 sin^2phi = 9 .
Em coordenadas esféricas,
r = 3sinphi . Então:
Resolvendo para
:
Ou, de forma equivalente:
Passo 4
Vamos para a parte c):
r^2 sin^2phi = 2r cosphi .
Substituindo em coordenadas esféricas:
Dividindo ambos os lados por
r = 2cosphisin^2phi = 2 cotphi cscphi (com
):
Então:
Passo 5
Finalmente, a parte d):
r^2 - 8r sinphi costheta = 0 .
Primeiro, reconhecemos que
r(r - 8sinphi costheta) = 0 e
r = 8sinphi costheta . Substituindo:
Fatorando
:
Ignoramos
, então:
Resposta
As equações em coordenadas esféricas das superfícies dadas são:
a)
b)
c)
d)
Exercícios relacionados
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
V(t), A(t) e os escalares
A_T(t) e
AN(t) .
a)R(t) = t * i + t^2 * j
b)R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c)R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d)R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j
a)
b)
c)
d)
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
t=0 .
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a)R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b)R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c)R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d)
R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2
a)
b)
c)
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.