Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos transformar as equações dadas de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como converter as variáveis x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi , e para , e nas coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão:
Além disso, sabemos que .

Passo 2

Vamos resolver a parte a): r^2 - 9z = 0 implies r^2 - 9rcosphi = 0 .
Primeiro, observamos que r(r - 9cosphi) = 0 . Então, substituindo:
r = 9cosphi
Fatorando :
Ignoramos (ponto trivial), então:

Passo 3

Agora, a parte b): r^2 sin^2phi = 9 .
Em coordenadas esféricas, r = 3sinphi . Então:
r sinphi = 3
Resolvendo para :
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Vamos para a parte c): r^2 sin^2phi = 2r cosphi .
Substituindo em coordenadas esféricas:
r sin^2phi = 2cosphi
Dividindo ambos os lados por r = 2cosphisin^2phi = 2 cotphi cscphi (com ):
Então:

Passo 5

Finalmente, a parte d): r^2 - 8r sinphi costheta = 0 .
Primeiro, reconhecemos que r(r - 8sinphi costheta) = 0 e r = 8sinphi costheta . Substituindo:
Fatorando :
Ignoramos , então:

Resposta

As equações em coordenadas esféricas das superfícies dadas são:
a)
b)
c)
d)

Exercícios relacionados

Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d) R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t=0.
ll a) x=a cos t, y=a sen t & b) x=2+cos t, y=3+sen t c) x=2(cos t+t sen t), y=2(sen t-t cos t) & d) y=raizx^3
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d) R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2
Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0 b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0