Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a) R(t) = (t+1) i - t^2 j + (1-2t) k, t=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o triedro móvel (que são os vetores tangente, normal e binormal) e a curvatura da curva no ponto dado, que nesse caso é para . A curva é definida pela função vetorial:
Para resolver isso, vamos precisar derivar a função, calcular os vetores do triedro móvel e achar a curvatura usando as fórmulas da geometria diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a , que nos dá o vetor velocidade da curva:
No ponto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, normalizamos :
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do vetor tangente em relação a , que nos dará a taxa de variação do vetor tangente:
Como a derivada é zero, isso indica que o vetor tangente não está mudando em .

Passo 5

O vetor normal unitário é definido como a derivada do vetor tangente unitário normalizada:
Mas como , não podemos normalizar um vetor nulo. Isso significa que a curvatura nesse ponto é zero, e o triedro móvel não está bem definido nesse ponto específico.

Passo 6

Como a curvatura é zero, o vetor binormal também não pode ser definido, pois ele depende dos vetores tangente e normal.

Passo 7

A curvatura é dada por:
Como , a curvatura é:

Resposta

No ponto , a curvatura da curva é igual a zero, e o triedro móvel não está definido nesse ponto.

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