Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o triedro móvel (que são os vetores tangente, normal e binormal) e a curvatura da curva no ponto dado, que nesse caso é para
. A curva é definida pela função vetorial:
Para resolver isso, vamos precisar derivar a função, calcular os vetores do triedro móvel e achar a curvatura usando as fórmulas da geometria diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade da curva:
No ponto
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário
. Para isso, normalizamos
:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do vetor tangente
em relação a
, que nos dará a taxa de variação do vetor tangente:
Como a derivada é zero, isso indica que o vetor tangente não está mudando em
.
Passo 5
O vetor normal unitário
é definido como a derivada do vetor tangente unitário normalizada:
Mas como
, não podemos normalizar um vetor nulo. Isso significa que a curvatura nesse ponto é zero, e o triedro móvel não está bem definido nesse ponto específico.
Passo 6
Como a curvatura é zero, o vetor binormal
também não pode ser definido, pois ele depende dos vetores tangente e normal.
Passo 7
A curvatura
é dada por:
Como
, a curvatura é:
Resposta
No ponto
, a curvatura da curva é igual a zero, e o triedro móvel não está definido nesse ponto.
Exercícios relacionados
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
c)
c)
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c)
c)
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.